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Vektorräume II                                             ZURÜCK
Die Axiome S1-S5 im
Vektorraum:
Euklidische
Vektoren der
Ebene		 a-absatz.pcx (280 Byte)Axiom 1
        Nun müssen wir überprüfen, ob die Verknüpfung S unseres
       Beispiels die Axiome S1-S5 erfüllt. Axiom 1 lautete:

           Das Produkt aus einem Körperelement und einem Gruppen-
           element muß ein Gruppenelement ergeben.

        Unsere Verknüpfung aus Körperelementen (reellen Zahlen)
        und Gruppenelementen (Euklidische Vektoren) lautete:

                Eine reelle Zahl k wird mit einem  (euklidischen) Vektor v
                multipliziert, indem man den Vektor v um den Faktor k
                streckt (k>1) oder staucht (k<1).

         Damit ist Axiom 1 erfüllt, denn laut unserer Definition ist
         das Ergebnis aus relleer Zahl und Euklidischen Vektor wieder
         ein euklidischer Vektor, und nicht etwa eine reelle Zahl.

a-absatz.pcx (280 Byte)Axiom S2-S4
       Das Assoziativgesetz und die beiden Distributivgesetze sind
       gültig. Dies haben wir in der Vektorrechnung bereits gezeigt.

a-absatz.pcx (280 Byte)Axiom S5
       Das Axiom S5 lautete: Es muß im Körper ein Einselement
       geben, für das gilt:

            1·v = v          (v = Vektor = Gruppenelement)

       Für unser Beispiel heißt dies, daß wir überprüfen müssen ob
       es ein Einselement gibt, für das gilt:

            Einselement · Euklidischer Vektor v = Euklidischer Vektor v
         
        Das Einselement unserer Verknüpfung ist die reelle Zahl 1,
        denn es gilt:

            1 · Euklidischer Vektor v = Euklidischer Vektor v