Basis der
Ebene |
 Einleitung
Auf den letzten Seiten haben wir Erzeugendensysteme der
Ebene kennengelernt. Nun wollen wir eine spezielle Art
von Erzeugendensystemen der Ebene kennenlernen,
die man Basen der Ebene nennt:
Definition
Gegeben sei ein Erzeugendensystem der Ebene.
Sind die Vektoren des Systems linear
unabhängig,
so nennt man das Erzeugendensystem der Ebene, eine
Basis der Ebene. |
Beispiel und Gegenbeispiel
Gegeben seien die Vektoren x und y der Ebene, von denen
bekannt sei, daß sie ein Erzeugendensystem der Ebene bilden.
Weil die zwei Vektoren auch linear unabhängig sind, nennt
man sie eine Basis der Ebene:
Gegeben seien die Vektoren x,y und z der Ebene, von denen
bekannt sei, daß sie ein Erzeugendensystem der Ebene bilden.
Weil drei Vektoren immer linear abhängig sind, bilden sie
keine Basis der Ebene
Wieviel Vektoren hat eine Basis der Ebene
Nun überlegen wir:
Weil eine Basis der Ebene ein Spezialfall eines Erzeugenden-
systemes der Ebene ist, muß sie auf jeden Fall zwei linear
unabhängige Vektoren enthalten.
Weil eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
ist, darf sie höchstens aus zwei Vektoren bestehen, denn drei
Vektoren in der Ebene sind ja immer linear abhängig.
Diese beide Forderungen fassen wir zusammen:
Eine Basis der Ebene besteht aus genau zwei
linear unabhänigigen Vektoren dieser Ebene.
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