Beweis zu:
Basis =
eindeutiges
Erzeugenden-
system
Beweis
Nehmen wir an, man könnte einen Vektor x der Ebene
auf zwei verschiedene Arten durch eine Basis darstellen:
x = k1a + k2b und x= k3a + k4b
Durch Gleichsetzen der Gleichungen entfällt x:
(k1a + k2b) - (k3a + k4b) = 0
Wir beseitigen die Klammern, und klammer a und b aus:
(k1-k3)·a + (k2-k4)·b = 0
Weil die Vektoren a und b linear unabhängig sind, gibt es
nur eine triviale Nullsumme, d.h.
(k1-k3) = 0
(k2-k4) = 0
Dies ist gleichbedeutend mit
k1 = k3
k2 = k4
Vergleichen wir dies mit der ersten Gleichung so sehen wir,
das es keine zwei verschiedenen Linearkombinationen einer
Basis der Ebene gibt, die den gleichen Vektor x der Ebene
darstellen.
Beweis
Nehmen wir an, man könnte einen Vektor x der Ebene
auf zwei verschiedene Arten durch eine Basis darstellen:
x = k1a + k2b und x= k3a + k4b
Durch Gleichsetzen der Gleichungen entfällt x:
(k1a + k2b) - (k3a + k4b) = 0
Wir beseitigen die Klammern, und klammer a und b aus:
(k1-k3)·a + (k2-k4)·b = 0
Weil die Vektoren a und b linear unabhängig sind, gibt es
nur eine triviale Nullsumme, d.h.
(k1-k3) = 0
(k2-k4) = 0
Dies ist gleichbedeutend mit
k1 = k3
k2 = k4
Vergleichen wir dies mit der ersten Gleichung so sehen wir,
das es keine zwei verschiedenen Linearkombinationen einer
Basis der Ebene gibt, die den gleichen Vektor x der Ebene
darstellen.