Die Basis als
eindeutiges
Erzeugenden-
system |
 Satz
Bis jetzt haben wir in diesem Kapitel Erzeugendensysteme
und Basen kennengelernt, wobei wir die Basen als linear
unabhängige Erzeugendensysteme definiert hatten.
Nun fragt man sich, was denn an einem linear unabhängigen
Erzeugendensystem (=Basis) so besonderes ist:
Stellt man einen Vektor x durch ein
Erzeugendensystem
dar, so ist die Darstellung in der Regel nicht eindeutig.
Stellt man dagegen einen Vektor x durch eine Basis dar,
so ist die Darstellung eindeutig, d.h. es gibt nur eine
Linearkombination der Basisvektoren {a,b,c} , die den
Vektor x darstellt. |
Beweis
Nehmen wir an, man könnte einen Vektor x des Raumes
auf zwei verschiedene Arten durch eine Basis darstellen:
x = k1a + k2b + k3c und x= k4a + k5b+ k6c
Durch Gleichsetzen der Gleichungen entfällt x:
(k1a + k2b + k3c) - (k4a + k5b + k6c) = 0
Wir beseitigen die Klammern, und klammer a,b,c aus:
(k1-k4)·a + (k2-k5)·b + (k3-k6)·c= 0
Weil die Vektoren a,b,c linear unabhängig sind, gibt es
nur eine triviale Nullsumme, d.h.
(k1-k4) = 0
(k2-k5) = 0
(k3-k6) = 0
Diese Gleichungen stellen wir um, und erhalten:
k1 = k4 k2 = k5 k3 = k6
Vergleichen wir dies mit der ersten Gleichung so sehen wir,
das es keine zwei verschiedenen Linearkombinationen einer
Basis des Raumes gibt, die den gleichen Vektor x des Raumes
darstellen.
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