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Vektoralgebra V                                ZURÜCK

Die Basis als
eindeutiges
Erzeugenden-
system
a-absatz.pcx (280 Byte)Satz
       Bis jetzt haben wir in diesem Kapitel Erzeugendensysteme
       und Basen kennengelernt, wobei wir die Basen als linear
       unabhängige Erzeugendensysteme definiert hatten.
       Nun fragt man sich, was denn an einem linear unabhängigen
       Erzeugendensystem (=Basis) so besonderes ist:
Stellt man einen Vektor x durch ein Erzeugendensystem
dar, so ist die Darstellung in der Regel nicht eindeutig.

Stellt man dagegen einen Vektor x durch eine Basis dar,
so ist die Darstellung eindeutig, d.h. es gibt nur eine
Linearkombination der Basisvektoren {a,b,c} , die den
Vektor x darstellt.
a-absatz.pcx (280 Byte)Beweis
       Nehmen wir an, man könnte einen Vektor x des Raumes
       auf zwei verschiedene Arten durch eine Basis darstellen:

                   x = k1a + k2b + k3c    und     x= k4a + k5b+ k6c

      Durch Gleichsetzen der Gleichungen entfällt x:

                   (k1a + k2b + k3c) - (k4a + k5b + k6c) = 0

      Wir beseitigen die Klammern, und klammer a,b,c aus: 
        
                   (k1-k4)·a  +  (k2-k5)·b + (k3-k6)·c= 0

      Weil die Vektoren a,b,c linear unabhängig sind, gibt es
      nur eine triviale Nullsumme, d.h.

                   (k1-k4) = 0
                   (k2-k5) = 0
                   (k3-k6) = 0

      Diese Gleichungen stellen wir um, und erhalten:
                   
            k1 = k4        k2 = k5      k3 = k6

      Vergleichen wir dies mit der ersten Gleichung so sehen wir,
      das es keine zwei verschiedenen Linearkombinationen einer
      Basis des Raumes gibt, die den gleichen Vektor x des Raumes
      darstellen.