Zwei Wurzeln, wobei der eine Wurzelexponent nicht ein Vielfaches des anderen ist

Hauptnenner der Wurzeln finden:
Im vorigen Fall haben wir bereits Wurzelgleichungen mit 2 Wurzeln betrachtet, bei denen der eine Wurzelexponent ein Vielfaches des anderen Wurzelexponent.
Nun lassen wir diese Einschränkung fallen, und betrachten eine Wurzelgleichung mit den Exponenten 9 und 6:

  
Zuerst schreiben wir die Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten:  
Jetzt wollen wir die Potenzen auf den kleinesten gemeinsamen Nenner bringen. Der Hauptnenner von 1/9 und 1/6 ist 1/18.  Deshalb müssen wir den Exponenten auf der linken Seite mit 2 erweitern, und den Exponenten auf der rechten Seite mit 3:  
Potenzieren mit Hauptnenner:
Nun hat bei beiden Potenzen der Exponent den gleichen Nenner 18, und wir können mit 18 potenzieren, wodurch ganzzahlige Exponenten entstehen
Die Klammern können wir nun entweder ausmultiplizieren, oder die 2.Binomische Formel anwenden:  
Nun bringen wir alle Summanden auf die linke Seite:  
Wir multiplizieren mit –1
Kubische Gleichung > Lösung raten:
Wir erhalten eine algebraische Gleichung 3.Grades (kubische Gleichung), die wir mit den Mitteln der Schulmathematik nicht lösen können. Es gibt aber einen Satz in der Algebra, der manchmal weiterhilft: Falls eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Lösungen haben sollte, dann sind sie unter den Teilern des Absolutgliedes (–28) zu finden.
Wir setzen also die Teiler des Absolutgliedes (1, –1, 2, –2, 3, –3, ...) in die kubische Gleichung ein. Bei x=2 haben wir Glück. Weil x=2 die kubische Gleichung erfüllt, ist x=2 auch eine Lösung der Wurzelgleichung.

 
Nun suchen wir weitere Lösungen. Ein Satz aus der Algebra sagt: Wenn x=2 eine Lösung der Gleichung ist, dann ist die Gleichung durch (x–2) teilbar. Wir führen also eine Polynomdivision mit (x–2) durch:
Den Faktor (x–2) bringen wir auf die andere Seite, und erhalten so die Faktorzerlegung der algebraischen Gleichung:
Wir ersetzen in der kubischen Gleichung den kubischen Term durch die Faktorzerlegung. Ein Produkt ist aber genau dann Null, wenn einer oder beide der Faktoren gleich Null sind. Wir müssen daher noch den ersten Faktor (linke Klammer) gleich Null setzen  
Quadratische Gleichung lösen:
Wir erhalten eine quadratische Gleichung		  
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen lautete:  
Einsetzen der Werte:  
Weil die Diskriminante negativ ist (negativer Radikant) hat die quadratische Gleichung keine Lösung, und daher hat die Wurzelgleichung keine weiteren Lösungen.  
Probe:
Nun muß noch die Probe für x=2 gemacht werden, also für die Lösung die wir weiter oben gefunden haben. Es ergibt sich eine wahre Aussage (1=1). Daher ist x=2 eine Lösung der Wurzelgleichung:		  
Lösungsmenge: