Wurzelungleichung: Beide Seiten der Ungleichung sind positiv

Lösungsweg:

 Anmerkungen zum Lösungsweg
Gegebene Wurzelungleichung:


 		 Lösungsidee:
Im Kurs Ungleichungen haben wir ja schon erwähnt, dass das Potenzieren mit einer geraden Zahl
(wie z.B. Quadrieren) nicht erlaubt ist, weil es eine Verlustumformung sein kann
(d.h. es gehen Lösungen verloren).

Wie aber soll man z.B. eine Quadratische Wurzelungleichung lösen, wenn nicht durch Quadrieren?
Wir hatten im Kurs Ungleichungen gezeigt, dass man (beide Seiten einer Ungleichung) mit einer
geraden Zahl potenzieren darf, wenn beide Seiten der Unleichung positiv sind. Eine solche
Ungleichung liegt hier vor! Die Lösungsidee lautet somit: Quadriere die Ungleichung!
Definitionsbereich bestimmen:

Dazu beide Ungleichungen nach x auflösen:

Lösung des Ungleichungssystems:
 Bevor wir die Rechnung beginnen, wollen wir den Definitionsbereich der Ungleichung bestimmen.

  Wir müssen die Werte bestimmen, bei denen beide Radikanden
  größer oder gleich Null sind, denn Wurzeln mit negativen Radikanden
  sind ja bekanntermaßen nicht definiert.

Wir müssen also die Lösungen eines Ungleichungssytems finden.
Ungleichung quadrieren:
 Beide Seiten sind positiv, weil eine Wurzel per Definition
grundsätzlich immer nicht-negativ ist. Daher dürfen wir die
Ungleichung quadrieren:
Radizieren und Quadrieren haben sich auf:
 Jetzt wenden wir das folgende Wurzelgesetz an:
Lineare Ungleichung lösen:
 Wir lösen diese Ungleichung, indem wir zuerst auf beiden Seiten x subtrahieren:

Dann 9 addieren:

Und die Ungleichung schließlich durch 2 teilen:

Vereinfachen:

 
Wir bilden nun noch die Schnittmenge mit
der Definitionsmenge, und erhalten die
Lösungsmenge:
Weil die Ergebnismenge (voriger Schritt) im Definitionsbereich liegt,
ist die Ergebnismenge auch gleichzeitig die Lösungsmenge.