Wurzelungleichung: Fälle in denen eine Fallunterscheidung nötig ist

Lösungsschritte:

 Lösungsweg
Gegebene Wurzelungleichung:


 		 Lösungsidee:
Die rechte Seite der Ungleichung kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen,
und daher dürfen wir nicht einfach quadrieren.

Wir bestimmen daher zunächst den Definitionsbereich. Weil die rechte Seite der Ungleichung sowohl
positive als auch negative Werte annehmen kann, wenn man verschiedene x aus dem Definitionsbereich
in die Ungleichung einsetzt, hilft die Überprüfung des Definitionsbereichs nicht weiter.

Wir müssen daher eine Fallunterscheidung machen.
Definitionsbereich bestimmen:
 Um den Definitionsbereich zu bestimmen, müssen wir bestimmen, wann
der Radikand größer oder gleich Null ist, denn Wurzeln aus negativen
Zahlen sind ja nicht bestimmt. Wir müssen also folgende Ungleichung lösen:

Wir subtrahieren 2 auf beiden Seiten der Ungleichung:

Wir teilen die Ungleichung durch 2:

Die Potenzungleichung ist immer wahr, denn das Quadrat einer Zahl x ist
stets nicht-negativ und somit größer als –1.

 
Erklärung zu Fall 1: Erklärung zu Fall 2:
Im Fall 1 nehmen wir an, dass die rechte Seite der
Ungleichung nicht-negativ (positiv oder Null) ist:

Daher dürfen wir die obere Ungleichung
quadrieren, denn dann sind beide Seiten der Ungleichung positiv. Wir erhalten:
 Im Fall 2 nehmen wir an, dass die rechte Seite
der gegebenen Wurzelungleichung negativ ist:

Die Ungleichung ist dann auf jedem Fall wahr.
Wir müssen daher nur die Zahlen berechnen,
für welche die Annahme 2x<0  gilt. Dazu müssen
wir die untere Ungleichung durch 2 dividieren:

Für alle x<0 ist die Wurzelungleichung also wahr.
Auf der linken Seite der oberen Ungleichung
wenden wir das folgende Wurzelgesetz an:

Die rechte Seite müssen wir ausrechnen.
Wir erhalten die Ungleichung:
  
Wir lösen nun die obere Ungleichung. Dazu
addieren wir zunächst auf beiden Seiten 2x²:

Teilen durch 2:

Ziehen die Quadratwurzel:

Nun das folgende Wurzelgesetz anwenden:

Dies ergibt:

Betragsgleichung lösen:
  
Jetzt müssen wir nur noch die untere
Ungleichung in dem Ungleichungssystem lösen.
Dazu dividieren wir die Ungleichung durch 2:
  
Die Lösung des Systems ist die Schnittmenge
der Lösungsmengen der oberen und der
unteren Ungleichung:
  
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen der beiden einzelnen Fälle.