Wurzelgleichung Wurzelgleichungen

Wurzelgleichung mit verschachtelter Wurzel

Dies ist die gegebene Wurzelgleichung:
Die gegebene Wurzelgleichung ist eine verschachtete Wurzelgleichung.
Die Variable x kommt aber nur in der inneren Wurzel vor.
Hinweis: Verschachtelte Wurzelgleichungen, bei denen die Variable x
in der inneren und der äußeren Wurzel vorkommt, lernen wir später kennen.

Wurzel isolieren:
In der gegebenen Gleichung muß zuerst die äußere Wurzel isoliert werden.
Dazu addieren wir auf beiden Seiten die Zahl 2.

Beide Seiten quadrieren:
Jetzt quadrieren wir beide Seiten:

Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:

Innere Wurzel isolieren:
Jetzt ist nur noch die innere Wurzel übrig, die wir nun wieder isolieren müssen.
Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten die Zahl 6:

Gleichung mit –1 multiplizieren:
Durch die Multiplikation beider Seiten mit –1 werden beide Seiten positiv:

Beide Seiten quadrieren:
Durch die Multiplikation beider Seiten mit –1 werden beide Seiten positiv:

Ergebnis:
Diese einfache lineare Gleichung lösen wir, indem wir auf beiden Seiten 1 subtrahieren. Wir erhalten das Ergebnis:

Probe machen:
Nun müssen wir noch die Probe machen, indem wir das Ergebnis (3)
in die ursprüngliche Wurzelgleichung einsetzen und die Terme vereinfachen.
Weil die Probe eine wahre Aussage ergibt (0=0), ist die Zahl 3
tatsächlich eine Lösung der gegebenen Wurzelgleichung:

Lösungsmenge:
Nun können wir die Lösungsmenge angeben: