Zwei verschachtelte Quadratwurzeln und ein Absolutglied:

Gegeben:
Gegeben ist eine Wurzelgleichung mit einer verschachtelten Wurzel.
Die Variable x kommt in beiden Radikanden vor, also im Radikanden
der inneren Wurzel als auch der äußeren Wurzel.
Potenzieren:
Da die (äußere) Wurzel bereits isoliert ist, kann die Gleichung sofort quadriert werden:
Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
Verbliebene Wurzel isolieren:
Um die übrig gebliebene Wurzel zu isolieren,
müssen wir 2x auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren:
Nochmals quadrieren:
Die Gleichung nochmals quadrieren:
Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich wieder Radizieren (Wurzelziehen) und Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
Vereinfachen:
Die rechte Seite ausmultiplizieren. Dies geht am einfachsten mit Hilfe
der 2.Binomischen Formel: (ab)² =a²2ab+b²
Vereinfachen:
Die rechte Seite der Gleichung vereinfachen. Benutze das Potenzgesetz: (ab)2=a2b2
Alle Terme auf eine Seite bringen:
Bringe alle Terme auf die linke Seite. Nun sieht man, dass eine
quadratische Gleichung vorliegt mit a=4 , b=17 und c= –13
Quadratische Gleichung lösen:
Um sie zu lösen benützen wir diesmal die allgemeine Lösungsformel, die zur Erinnerung hier nochmals aufgeführt ist:
Wir setzen a=4 , b=17 und c= –13 in die Lösungsformel ein:
Vereinfachen:
Vereinfachen:
Vereinfachen:
Ergebnis:
Wir erhalten die beiden Ergebnisse x=1 und  x= 13/4
Probe für x=1:
Die Probe für x=1 ergibt eine wahre Aussage (2=2) und daher ist x=1 eine Lösung
Probe für x=13/4:
Die Probe für x=13/4 ergibt eine falsche Aussage (3=2) und daher ist x=13/4 keine Lösung
Lösungsmenge:
Nur x=1 ist also eine Lösung