Komplexe Zahlen Das Standardwerk von Josef Raddy mit über 300 Seiten  (klicke auf das Bild):

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Zurück zur Homepage Komplexe Zahlen und Funktionentheorie Playlist mit über 200 Videos zu Buchreihe Komplexe Zahlen und Funktionentheorie (siehe oben). Stand 12.10.2021  (14.50) 0. Vorkenntnisse Zahlbereichserweiterungen 1. Die imaginäre Einheit Einführung der imaginären Zahlen als neues Vorzeichen (Video) Die Vielfachen einer imaginären Zahl (nur Text) Addition und Subtraktion imaginärer Zahlen auf dem Zahlenstrahl (nur Text) Potenzen imaginärer Zahlen Was ist i wirklich? 2. Komplexe Zahlen Kurze Einführung in die komplexen Zahlen Definition der komplexen Zahlen (altes Video) Hintergrundwissen zur Definition Finde den Fehler: i=1? Finde den Fehler: 1=–1 3.Der Körper C der komplexen Zahlen Körpererweiterung von R nach C - Darf man i einfach erfinden? Körpererweiterung von R nach C - Beweis der Isomorpie Beweis: In C ist keine Anordnung möglich 4. Trigonometrische Form Die trigonometrische Form Trick 1 Trick 2 Trick 3 5. Exponentialform Exponentialform: Einführung Trigonometrische Funktionen durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken 6. Umwandlungen der drei Formen Normalform in Exponentialform: Teil 1 Normalform in Exponentialform: Teil 2 Normalform in trigonometrische Form: Methode 1 Teil 2 Teil 3 Normalform in trigonometrische Form: Methode 2 Teil 2 Teil 3 Normalform in trigonometrische Form: Methode 3 7. Grundrechenarten Vertiefung: Kann man auch in der Polarform addieren? Multiplikation in Normalform (Beweis der Regel durch das Permanenzprinzip) Division in Normalform 8. Sätze mit Beweis (bis Dreiecksungleichung) Komplexe Zahl mal ihrer Konjugation Konjugation aus dem Quotienten komplexer Zahlen Sinus und Kosinus durch komplexe Exponentialfunktionen ausdrücken Betrag einer komplexen Potenz Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen (Beweis) 9. Potenzieren und Satz von Moivre Potenzieren und der Satz von Moivre Beweis für natürliche Exponenten Beweis für negative Exponenten Korollar zum Satz von Moivre Beispiel 1 Beispiel 2 10.Komplexe Wurzeln, Wurzelfunktion und Einheitswurzeln Wurzelfunktion 1 - Wiederholung der Umkehrbarkeit reeller Wurzeln Wurzelfunktion 2 - Definition und Mehrdeutigkeit Wurzelfunktion 3 - Die Lösungsformel und Berechnungsbeispiel Beweis der Wurzel-Formel 1/2 Beweis der Wurzel-Formel 2/2 Quadratwurzeln in Normalform lösen - 1 (Formel) Quadratwurzeln in Normalform lösen - 2 (Beweis) Einheitswurzeln: Primitive Einheitswurzeln als Erzeugendensystem Einheitswurzeln: Der Summensatz Was ist die Quadratwurzel aus i Komplexe Wurzeln in Maple: root und surd Komplexe Wurzeln in Maple: Alle Wurzeln anzeigen 11.Diverses zu komplexen Funktionen  Komplexwertige Funktionen kontra komplexe Funktionen Komplexe Zahlenmengen: Beispiel Re(z²) > 0 Komplexe Zahlenmengen: Beispiel Im(z²) > 0 Komplexe Zahlenmengen: Schiefe und verschobene Halbebenen Komplexe Zahlenmengen: Segmente Komplexe Zahlenmengen: Beispiel  Im(Konjugiert(z)+3) <2 Verkettung 1 - Definitionsbereich einer verketteten Funktion Verkettung 2 - Beispiel 12. Kreisgleichungen in der Funktionentheorie Die "normale" Kreisgleichung 1: Herleitung Die "normale" Kreisgleichung 2: Aufgabe Generalisierte Kreisgleichung 1 Generalisierte Kreisgleichung 2 Die Komplexe Kreisgleichung Die generalisierte komplexe Kreisgleichung Die Kreisgleichung des Apollonios Die Kreisgleichung des Apollonios: Animation Kreis Die Kreisgleichung des Apollonios: Animation Sonderfall Gerade Die Kreisgleichung des Apolonios: Formel für Mittepunkt und Radius herleiten Die Kreisgleichung des Apollonios: Berechnung ohne Formel 13.Lineare Funktionen im Komplexen Verschiebung und Skalierung Die Verschiebung (Translation) Streckung und Stauchung (Oberbegriff: Skalierung) Drehung Drehung (Rotation): Worum geht es? Drehung: Formel Drehung Beispiel in Exponentialform Drehung.Beispiel in Normalform Drehstreckungen (die lineare Funktion) Drehstreckung Lineare Funktionen - Basisvideo Lineare Funktionen - Funktionsterm aus gegebenen Punkten berechnen Lineare Funktionen - Aufgabe 1 Die Inversion Die Definition Definition durch Konstruktionsvorschrift Formel zur Berechnung eines inversen Punktes Inverse Punkte in der erweiterten komplexen Ebene Unterschied zwischen reziproker Funktion und Inversion Kreise, die durch den Ursprung gehen, werden auf Geraden abgebildet Kreise, die nicht durch den Ursprung gehen, werden auf Kreisen abgebildet Beweis zum Fall "Kreis, der nicht durch den Ursprung geht" Ursprungsgeraden werden auf sich selbst abgebildet Ursprungsgeraden werden auf sich selbst abgebildet (neueres Video) Nicht Ursprungsgeraden werden Kreise Universalformel für die Inversion von Kreisen UND Geraden 14. Möbiustransformation Einführung und grundlegende Theorie Definition Zerlegung in Teilfunktionen Die 3-Konstanten-Form Zu 3/3 Punkten gibt es genau eine Möbiustransformation Doppelverhältnis 1 Doppelverhältnis 2 Doppelverhältnis 3 Inverse Punkte (Spiegelpunkte): Definition: Was ist ein inverser Punkt Direkte Berechnungsformel mit Herleitung Berechnung des Bildes: Methode der Umkehrfunktion: Beispiel  (im Video ist die Überschrift falsch: Es ist die "Methode Umkehrfunktion" und nicht die "Methode der inversen Punkte") Methode der Umkehrfunktion: Beispiel Methode der Umkehrfunktion: Beispiel Inverse-Punkte-Methode: Bild eines beliebigen Kreises Inverse-Punkte-Methode: Bild eines Einheitskreises Inverse-Punkte-Methode: Beispiel 3 Berechnung der Transformation: Berechnung aus drei Punktepaaren Theorie: Zu 3/3 Punkten existiert genau eine Möbiustransformation Theorie: Überbestimmte Systeme und versteckte Punktepaare Problembeispiel: Nur zwei Punktepaare gegeben. Berechnung aus zwei Punktepaaren und versteckten Punktepaar Berechnung einer Transformation zwischen offenen generalisierten Scheiben Berechnung einer Transformation zwischen Kreis und schiefer Ebene Doppelverhältnisse 1: Doppelverhältnisse in der Geometrie allgemein Doppelverhältnisse 2: Berechnung einer Transformation bei 3 gegebenen Punktepaaren mit Hilfe der Doppelverhältnisformel  Doppelverhältnisse 3: Invarianz eines Doppelverhältnisses unter einer Möbiustransformation Spezialitäten: Transformation (1-z)/(1+z). Beweis dass E-Kreis auf Im-Achse abgebildet wird 15. Reine Quadratfunktion w=a·z^2 Komplexe Quadratfunktion 1 Komplexe Quadratfunktion 2 Komplexe Quadratfunktion 3 - Beispiel: Figur als Definitionsbereich  Animation der komplexen Quadratfunktion Nullstellen der komplexen Quadratfunktion Visualisierung 1a Nullstellen der komplexen Quadratfunktion Visualisierung 1b Nullstellen der komplexen Quadratfunktion Visualisierung 1c Nullstellen der komplexen Quadratfunktion 2 (Berechnung) 16. Allgemeine quadratische Funktion w=az^2+bz+c Allgemeine komplexe quadratische Funktion 17.Polynome  Komplexe Nullstellen: Polynom 3.Grades - Berechnung Komplexe Nullstellen: Polynom 4.Grades - Visualisierung 18.Gleichungen (Linear und quadratisch) Lineare Gleichungen: Beispiel 1 (leicht) Lineaer Gleichungen: Beispiel 2 (schwerer) Quadratische Gleichung: Beispiel mit Konjugation Quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten Quadratische Gleichung: Weiteres Beispiel mit Konjugation Quadratische Gleichung: Tips für zwei Sonderfälle Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen (Beweis) Aufgabe 1 (Ein Beweis bei dem die Dreiecksungleichung benutzt wird) Aufgabe 2 (Konjugationsformeln) 19.Fundamentalsatz und reelle Polynome  Fundamentalsatz und reelle Polynome 1/3 Fundamentalsatz und reelle Polynome 2/3 Fundamentalsatz und reelle Polynome 3/3 20.Die Argumentfunktion und ihre Rechenregeln Definition der einwertigen und mehrwertigen Argumentfunktion Argumentfunktion und Hauptwert (neues Video aus SS2021) Berechnung des Hauptwertes aus einem gegebenen Winkel Einwertige Argumentfunktion - Hauptwert eines Produktes Einwertige Argumentfunktion - Regel für Potenzen 1 Einwertige Argumentfunktion - Regel für  Potenzen 2 (Beweis des Korrekturfaktors) Mehrwertige Argumentfunktion - Regel für Produkte Mehrwertige Argumentfunktion - Paradoxie bei Regel für Quotienten Mehrwertige Argumentfunktion - Regel  für Potenzen 21.Der komplexe Betragsfunktion und ihre Regeln Regel für Potenzen - Exponent darf aus dem Betrag gezogen werden 22.Komplexe trigonometrische Funktionen     (Sinusfunktion, Kosinus, Tangens usw.) Trigonometrische Funktionen durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken Sinus: Betrag des Sinus in räumlicher Darstellung (Animation ohne Erklärung) Kosinus in der w-Ebene (Animation) Kosinus ist eine gerade Funktion (Animation) Nullstellen Sinusfunktion 1 Berechnung Nullstellen Sinusfunktion 2 Nullstellen Sinusfunktion 3 - Berechnung über Betrag Komplexe Identitäten: Betrag des Sinus zerlegen in Real- und Imaginärteil 23.Komplexe Exponentialfunktion Definition der komplexen Exponentialfunktion Darstellung in der w-Ebene Animation zum vorigen Video Berechung von Re, Im, Betrag und keine Nullstellen Darstellung im Raum: Alternative Erklärung am Beispiel Realteil Animation des Realteils (mit Musik zur Entspannung) Exp hat keine Nullstellen 1 - Visualisierung und Beweisidee Exp hat keine Nullstellen 2 - Beweis Exp hat keine Nullstellen 3 - Alternativer Beweis 24.Komplexe Logarithmusfunktion Komplexer Logarithmus: Herleitung der Berechnungsformel Stetigkeit und geschlitzte Ebene Darstellung des Real- und Imaginärteils Eigenschaft 1 für die einwertige Logarithmusfunktion (folgt später) Eigenschaft 2 für die einwertige Logarithmusfunktion Eigenschaft 1 für die mehrwertige Logarithmusfunktion Eigenschaft 2 für die mehrwertige Logarithmusfunktion Paradoxie zwischen 1. und 2.Eigenschaft Die Periodizität Nullstellen der Logarithmusfunktion Einwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Produkte Einwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Quotienten Einwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Potenzen Mehrwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Produkte Mehrwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Quotienten Mehrwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Potenzen gilt NICHT 25.Mehrwertige Funktionen (arg, log, Wurzeln usw.)  Vorkenntnisse: Erlaubte Rechenoperationen und Paradoxien Beweis der Ein- bzw. Mehrwertigkeit: log(z), exp(z) und sin(z) Beweis der Mehrwertigkeit der Wurzelfunktionen 26.Generalisierte Potenzen und die Potenzgesetze  Generalisierte Potenzen 1 - Die neue  Definition Generalisierte Potenzen 2 - Erste Übersicht über die 5 möglichen Fälle  Generalisierte Potenzen 3 - Komplexe Basis und ganzer Exponent Generalisierte Potenzen 4 - Komplexe Basis und rationaler Exonent  Generalisierte Potenzen 5 - Komplexe Basis und irrationaler Exponent Generalisierte Potenzen 6 - Komplexe Basis und komplexer Exponent  Weitere generalisierte Funktionen: Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion Potenzgesetz 1 (einwertig) Potenzgesetz 1 (mehrwertig) gilt nicht: Der Grund Potenzgesetz 3 (mehrwertig) und Anwendung auf (i^i)^i Potenzgesetz 4 (mehrwertig) Beispiel: i^i und die Probe Beispiel: i^(i^i) Beispiel: (1+i)^(2+2i) Übungsaufgabe: Wann haben Potenzen von i den gleichen Betrag? Was ist die i-te Wurzel aus i? Fake Beweis: 1 = –1 ? Fake Beweis: Das Potenzgesetz 1 (mehrwertig) ist gültig ? Fake Beweis: Die Wurzel aus -1 ist 1? 27.Riemannsche Zahlenkugel und Möbius Transformation Möbius Transformation 1: Die Riemannsche Zahlenkugel Möbius Transformation 2: Lineare Funktionen (Verschiebung, Rotation, Dilatation, Drehstreckung) Möbius Transformation 3: Inversion 28.Grenzwerte und Stetigkeit Grenzwerte reeller und komplexer Funktionen Stetigkeit einer komplexen Funktion am Beispiel 29.Differenzierbarkeit und Differentialrechnung Herleitung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen Beispielaufgabe (externer Link: Mathematiqua) 30. Riemannsche Flächen Animation ohne Erklärung: Die Zweige der Quadratwurzelfunktion Animation ohne Erklärung: Die Zweige der Logarithmusfunktion Riemannsche Flächen: Quadratwurzelfunktion Erklärung der Konstruktion Riemannsche Flächen: Quadratwurzelfunktion Erklärung der Zweige 31.Windungszahlen und Verzweigungspunkte Windungszahl - Bedeutung (Video folgt) Windungszahl - Graphische Ermittlung Verzweigungspunkte im Reellen (Wiederholung) Logarithmische Verzweigungspunkte 32.Integralrechnung im Komplexen Überblick über die Themen der komplexen Integralrechnung Der Sonderfall: Integral einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variable (folgt)  Integration im Komplexen 1 - Einführung und Visualisierung eines komplexen Wegintegrals Integration im Komplexen 2 - Die Animation aus dem ersten Teil (ohne Ton) Integration im Komplexen 3 - Geometrische Lösung: - Beispiel: Realteil integrieren Integration im Komplexen 4 - Weitere Beispiele  Integration im Komplexen 5 - Parametrisierung - Beispiel:  Realteil integrieren Integration im Komplexen 6 - Parametrisierung - Beispiel:  Konjugation integrieren Fundamentalsatz als zweite Lösungsmethode Korollar zum Fundamentalsatz Satz von Cauchy Satz von Cauchy - Beispiel Cauchy Integralformel - Einführung am Beispiel Cauchy Integralformel - Beispiel 2 Cauchy Integralformel - Beispiel 3 Cauchy Integralformel - Beispiel 4 Cauchy Integralformel - Beispiel 5 Standardabschätzung - Einführung Standardabschätzung - Beispiel 1 Standardabschätzung - Beispiel 2 Reelle Integrale durch Umwandlung in komplexe Integrale lösen - Beispiel 1 Reelle Integrale durch Umwandlung in komplexe Integrale lösen - Beispiel 2 33. Laurent Reihen Laurent Reihen 1a Laurent Reihen 1b Laurent Reihen 2  Laurent Reihen 3a: Rückführung auf geometrischen Reihen Laurent Reihen 3b Laurent Reihen 3c

Englische Übungsaufgaben zur Funktionentheorie findet ihr hier:
C1 Complex Numbers
C2 Complex Functions
C3 Complex Analytic functions
C4 Power Series (Potenzreihen)
C5 Laurent Series
C6 Calculus of Residues (Theoriebuch dazu)
C7 Applications of the Calculus of Residues
C8 Some classical transform  (Fortsetzung in C11)
C9 The Argument Principle and Many-valued Functions
C10 folgt
C11 Laplace Transform
C12 Gamma Funktion, Beta, Bessel, Dirac, Anwendungen auf DGL usw.

Ade