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©Raddy '99

Binäre Logik II zurück

Äquivalenz
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Vorbemerkung
      Jetzt wird bewiesen, daß aus den Eigenschaften 1 und 2 sich die Eigen-
      schaften 3 und 4 automatisch ergeben. Die vier Eigenschaften lauteten:

               1. Wenn A wahr ist, folgt daraus, daß B wahr ist.
               2. Wenn B wahr ist, folgt daraus, daß A wahr ist.
             3. Wenn A falsch ist, folgt daraus, daß B falsch ist.
               4. Wenn B falsch ist, folgt daraus, daß A falsch ist.

Beweis
11k2s5p1.pcx (3704 Byte)

Aus den Eigenschaften 1 und 2 folgt
der untere Strich im Diagramm.

11k2s5p2.pcx (3861 Byte) Wegen Eigenschaft 1 kann es aber
keinen Strich von A(wahr) nach
B(falsch) geben (gestrichelte Linie).

11k2s5p2.pcx (3861 Byte) Ebenso kann es wegen Eigenschaft 2
keinen Strich von B(wahr) nach
A(falsch) geben (gestrichelte Linie).

Somit treten also keine diagonal
verlaufenden Striche auf

11k2s5p2.pcx (3861 Byte)
Nun bleibt nur noch zu beweisen, daß
es einen Strich von A=falsch nach
B=falsch gibt: Das Wort "wenn" in
Eigenschaft Nr.1 sagt, daß es auch ein
"wenn nicht" geben muß, d.h. den Fall
A=falsch. Aus A=falsch kann aber
nicht B=wahr folgen (wegen Eigen- schaft2), also gilt der obere Strich.

Das entstandene Diagramm gibt aber nun alle 4 oben genannten
Eigenschaften wieder. Man kann also den Ausdruck AB lesen als:
"Aus A folgt B und aus B folgt A", ohne Eigenschaft 3 und 4 zu erwähnen.