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Differentialrechnung II         ZURÜCK
Beispiel:
Tangentensteigung
der Funktion y=x²
a-absatz.pcx (280 Byte)Vorbemerkung
      Im Kapitel I haben wir eine Formel für die Tangentensteigung mt 
      im Punkt x0 hergeleitet. Aus dieser allgemeinen Formel (gilt für
      alle Funktionen) kann man Formeln für die Tangentensteigung mt 
      von  konkreten Funktionen herleiten, z.B. für die Funktion y=x²: 
      
a-absatz.pcx (280 Byte)Die Herleitung
      Am Ende des vorigen Kapitels hatten wir eine Formel für die
      Tangentensteigung mt im Punkt x0 hergeleitet:
      da2s2p1.pcx (1443 Byte)
      Wie gesagt, wollen wir nun daraus die Steigung der Funktion y=x² 
      bestimmen. Der Funktionswert f an der Stelle (x0) ist dann (x0)², 
      der Funktionswert f an der Stelle (x0+d-delta.PCX (201 Byte)x) ist (x0+d-delta.PCX (201 Byte)x)²: 
      da2s2p2.pcx (2108 Byte)
      Nun vereinfachen wir den Zähler des Bruches.
      Den Term (x0+d-delta.PCX (201 Byte)x)² kann man ausmultiplizieren:   
      da2s2p3.pcx (2189 Byte)
      Der erste und der letzte Summand heben sich auf:
      da2s2p4.pcx (2349 Byte)
      Im Zähler klammern wir d-delta.PCX (201 Byte)x aus, und kürzen mit dem Nenner:
      da2s2p4.pcx (2778 Byte)     
      Nun bilden wir den Grenzwert (limes) für d-delta.PCX (201 Byte)x gegen 0:
      da2s2p5.pcx (1593 Byte)
      Die Funktion (Kurve) y=x² hat an der Stelle x0 die Steigung mt = 2x0:

                  da2s2p7.pcx (1525 Byte)