Hinreichendes Kriterium für ein
relatives Extremum:
Vorzeichenwechsel der 1.Ableitung |
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Erklärung |
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Gegeben sei eine
Funktion f(x) mit einem relativen Extremum an der Stelle xo.
Als Beispiel für ein relatives Extremum wählen wir ein relatives Maximum. |
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Nun betrachten wir die
erste Ableitung f '(x),
d.h. die Steigung der Funktion f(x):
Die Steigung von f(x) ist vor dem Maximum
positiv, an der Stelle des relativen Maximums gleich Null, und nach dem relativen Maximum
negativ.
Dies bedeutet aber, dass die
"erste Ableitung f '(x)
einen
Vorzeichenwechsel"
an der
Stelle des relativen Extremums hat. |
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Als Vergleich betrachten wir nun
einen Sattelpunkt. Dazu wählen wir
eine andere Funktion g(x). |
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Außerdem betrachten wir die erste
Ableitung g'(x),
d.h. die Steigung
der Funktion g(x).
Die erste Ableitung (Steigung) ist vor dem Sattelpunkt positiv, am Sattelpunkt
Null und nach dem Sattelpunkt wieder positiv.
Dies bedeutet aber, dass an der Sattelstelle
die
"erste Ableitung
g'(x)
keinen
Vorzeichenwechsel"
vollzieht. |
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Ergebnis |
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Aufgrund unserer Überlegungen können wir unterscheiden, ob ein
Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt:
Liegt ein Extremum (Minimum oder Maximum) an der
Stelle x0 vor,
dann ändert die 1.Ableitung dort ihr Vorzeichen.
Liegt dagegen ein Sattelpunkt an der Stelle x0
vor,
dann behält die 1.Ableitung dort ihr Vorzeichen. |
Wir haben somit unser Ziel erreicht, eine hinreichende
Bedigung für das
Vorliegen eines Extremums zu gewinnen:
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