Extrema

Beispiel mit
zwei Extrema

	Schritt 1: Ableitung ermitteln
	Gegeben sei die Funktion: Wir ermitteln die erste Ableitung (in diesem Fall durch Anwenden der Summenregel und der Potenzregel):

	Schritt 2: Ableitung gleich Null setzen
	Wir setzen die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extrema zu ermitteln:

Schritt 3: Entstehende Gleichung lösen

Wir lösen diese Gleichung (in diesem Fall liegt eine quadratische Gleichung vor,
die wir mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen):

Jetzt haben wir die Stellen berechnet, an denen entweder ein Extremum oder Sattelpunkt
vorliegt. Um zu unterscheiden, ob nun ein Sattelpunkt oder ein Extremum vorliegt, sowie
zur Unterscheidung zwischen Minimum und Maximum, ist der folgende Schritt nötig.

Schritt 4: Tabelle erstellen

Diese Stellen tragen wir nun in eine Tabelle ein. Wir kennzeichnen diese Stellen,
indem wir sie mit "mögliches Extremum" beschriften. Zusätzlich tragen wir in die
Tabelle die Intervalle ein, die vor, nach oder zwischen diesen Stellen liegen:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 2
2	– – –	Null	horizontal
2 bis

<= mögliches Extremum

Nun wählen wir in den Intervallen eine beliebige Stelle (möglichst einfache Werte nehmen),
und berechnen, welchen Wert die 1.Ableitung dort hat. Wir wählen –2, 0 und 3:

Die gewählten Stellen und das zugehörige "Vorzeichen der 1.Ableitung"
(das sich an diesen Stellen ergibt) tragen wir in die Tabelle ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	positiv
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 2	0	negativ
2	– – –	Null	horizontal
2 bis	3	positiv

<= mögliches Extremum

Das Vorzeichen der 1.Ableitung ist ja die Steigung der Funktion:
Eine positive 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion steigt,
eine negative 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion fällt.
Wir tragen die Steigung der Funktion in die letzte Spalte ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	positiv	steigt
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 2	0	negativ	fällt
2	– – –	Null	horizontal
2 bis	3	positiv	steigt

<= mögliches Extremum

Nun können wir erkennen, ob und welches Extremum vorliegt. Weil die Funktion
vor der Stelle x=–1 steigt und danach fällt, liegt dort ein Maximum vor.
Weil die Funktion vor der Stelle x=2 fällt und danach steigt, liegt dort ein Minimum vor:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	positiv	steigt
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 2	0	negativ	fällt
2	– – –	Null	horizontal
2 bis	3	positiv	steigt

<= Maximum

<= Minimum