Extrema

Beispiel mit Polen

	Worum geht es
	Wir zeigen nun ein Beispiel für Extremwertberechnung, bei der die gegebene Funktion f(x) auch Pole besitzt. In diesem Fall müssen wir auf zwei Dinge achten: 1. Die Pole müssen berechnet werden (Schritt 1) 2. Die Pole müssen in die Tabelle eingetragen werden (Schritt 5)

	Schritt 1: Polstellen berechnen
	Gegeben sei die Funktion: Die Pole ergeben sich nach der bekannten Regel: Die Pole sind die Nullstellen des Nenners, an denen der Zähler ungleich Null ist. Wir müssen also den Nenner mit Null gleichsetzen: Diese Gleichung hat nur eine Lösung: x=0 Außerdem gilt: Wenn x=0 ist der Zähler ungleich Null. Somit ist x=0 eine Polstelle.

	Schritt 2: Ableitung ermitteln
	Gegeben war die Funktion: Wir ermitteln die erste Ableitung (in diesem Fall durch Anwenden der Quotientenregel und der Summenregel):

	Schritt 3: Ableitung gleich Null setzten
	Wir setzen die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extrema zu ermitteln:

	Schritt 4: Entstehende Gleichung lösen
	Diese Gleichung müssen wir nun lösen, um "mögliche Extrempunkte" zu ermitteln. Wir beginnen, indem wir die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren: Wir addieren 2 auf beiden Seiten: Wir teilen die Gleichung durch 2: Wir ziehen die 4-te Wurzel auf beiden Seiten: Die rechte Seite ist 1, die linke Seite kann man vereinfachen: Diese Betragsgleichung hat die Lösungen x=1 und x=–1.

Schritt 5: Tabelle erstellen

Wir tragen jetzt die "Nullstellen der 1.Ableitung" (1,–1) in die
Tabelle ein, sowie zusätzlich den Pol (x=0) der Funktion f(x).
Wir kennzeichnen die Nullstellen der 1.Ableitung und den Pol
mit "mögliches Extremum" bzw. mit "Pol". Dann tragen wir in die
Tabelle die Intervalle ein, die vor, zwischen und nach diesen Stellen liegen:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 0
0	– – –	– – –	Pol
0 bis 1
1	– – –	Null	horizontal
1 bis

<= mögliches Extremum

<= Pol

<= mögliches Extremum

Nun wählen wir in den Intervallen eine beliebige Stelle (möglichst einfache Werte nehmen),
und berechnen, welchen Wert die 1.Ableitung dort hat. Wir wählen –2 und 0 :

Die gewählten Stellen und das zugehörige "Vorzeichen der 1.Ableitung"
(das sich an diesen Stellen ergibt) tragen wir in die Tabelle ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	negativ
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 0	–½	positiv
0	– – –	– – –	Pol
0 bis 1	½	negativ
1	– – –	Null	horizontal
1 bis	2	positiv

<= mögliches Extremum

<= Pol

<= mögliches Extremum

Das Vorzeichen der 1.Ableitung ist ja die Steigung der Funktion:
Eine positive 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion steigt.
Eine negative 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion fällt.
Wir tragen das Verhalten der Funktion in die letzte Spalte ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	negativ	fällt
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 0	–½	positiv	steigt
0	– – –	– – –	Pol
0 bis 1	½	negativ	fällt
1	– – –	Null	horizontal
1 bis	2	positiv	steigt

<= mögliches Extremum

<= Pol

<= mögliches Extremum

Nun können wir erkennen, ob ein Extremum vorliegt.
Weil die Funktion vor der Stelle x=–1 fällt und nach ihr steigt,
liegt dort ein Minimum vor. Weil die Funktion vor der Stelle
x=1 fällt, und nach ihr steigt, liegt dort ebenfalls ein Minimum vor:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	negativ	fällt
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis 0	–½	positiv	steigt
0	– – –	– – –	Pol
0 bis 1	½	negativ	fällt
1	– – –	Null	horizontal
1 bis	2	positiv	steigt

<= Minimum

<= Pol

<= Minimum