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Letzte Änderung: 28.1.2011 / 13.45
1.) Der Kurs Quadratische Gleichungen wird für diesen Kurs vorausgesetzt. Er sollte vorher durchgearbeitet werden
2.) Der Kurs Algebraische Gleichungen sollte möglichst gleichzeitig durchgearbeitet werden, da beide Kurse ineinander greifen.
Linearfaktorenzerlegung I
Erklärung des Verfahrens
  
Einführung
Was ist ein Linearfaktorenzerlegung und wozu   braucht man sie?
   
Die Linearfaktorenzerlegung
Crashkurs für Wiederholer 
  Die im Crashkurs kurz besprochenen Methoden zur Linearfaktorenzerlegung werden im Kapitel II ausführlicher behandelt. Bitte jetzt dorthin wechseln
   
Linearfaktorenzerlegung II
Die üblichen Zerlegungsmethoden
  
1. Quadratische Polynome zerlegen
Polynom hat unterschiedliche Nullstellen 
Polynom hat doppelte Nullstelle
Polynom hat negative Nullstelle 
Reinquadratisches Polynom
Polynom ohne Absolutglied

Schnelltest zur Überprüfung der Zerlegbarkeit eines quadratischen Polynoms in Linearfaktoren

  Viele weitere Beispiele findet man in den Nebenrechnungen der nachfolgenden Videos
    
2. Zerlegung durch Ausklammern
Polynom 3.Grades mit 3 Nullstellen
Polynom 3.Grades mit 1 Nullstelle
   
3. Zerlegung durch Raten einer Nullstelle und anschließender Polynomdivision
Die beiden Regeln zum Raten von Nullstellen
Polynom 3.Grades mit 3 Nullstellen
Polynom 3.Grades mit einer Nullstelle
Polynom mit rationalen Nullstellen
    
4. Zerlegung durch Substitution
Polynom 4.Grades mit 4 Nullstellen
Polynom 4.Grades mit 2 Nullstellen
Polynom 4.Grades ohne Nullstellen 
Polynom 6.Grades  
     
5. Zerlegung von Polynomen, in denen die Variable nur in einer Potenz vorkommt
x³–8
x³+1
Alternatives Lösungsverfahren für reinkubische Polynome: Höhere Binome
     
Beispiele bei denen mehrere oder sogar alle Methoden zum Einsatz kommen
Substitution und Raten von Nullstellen:
x^9-6x^6+11x^3-6
Raten von Nullstellen und Substitution
4x^5-4x^4-5x^3+5x^2-9x+9=
(Tip: Rate die Nullstelle ist x=1)
Ausklammern und Substitution
Ausklammern, Substitution, Raten von Lösungen, Quadratische Lösungsformel anwenden und Reinquadratischen Term zerlegen
Das vorige Beispiel zum Ausdrucken Text
    
Linearfaktorenzerlegung III
Lösungswege, Anwendungen und Beweise
   
Lösungswege und Merkregeln zum Ausdrucken (in Arbeit)
Lösungsstrategien: Polynom gleich Null setzen, dann: Raten, Substitution, Raten und Polynomdivision

Merke: Wenn einer der substituierten, zerlegten Faktoren keine Nullstellen hat, hat er auch nach der Rücksubstitution keine Nullstellen. Er wird zum Restpolynom.
   
Anwendung der Linearfaktorenzerlegung: Lösen höherer algebraischer Gleichungen
    Die Linearfaktorenzerlegung dient nicht nur zum Kürzen von Brüchen, sondern sie hilft auch beim Lösen algebraischer Gleichungen. Im Kurs Algebraische Gleichungen findet ihr dazu Beispiele: Hier klicken
    
Beweise (können übergangen werden)
Wenn a eine Nullstelle eines Polynoms p(x), dann ist (x–a) ein Linearfaktor
Wenn (x–a) ein Linearfaktor eines Polynoms p(x), dann ist a eine Nullstelle
(x–a) ist genau dann ein Linearfaktor eines Polynoms p(x), wenn a eine Nullstelle des Polynoms ist
Warum man den Koeffizienten der höchsten Potenz vor die Linearfaktorenzerlegung schreiben muss
   

Linksammlung: Linearfaktorenzerlegung (Faktorisierung)

1. Dieses Tool führt eine Linearfaktorenzerlegung online durch:
 www.mathe-paradies.de/mathe/faktorisieren/index.htm
Vorsicht, das Tool findet keine reellen Nullstellen