Beweis:
Zeilenvertauschung |
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Beweis |
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Zunächst beweisen wir den Hilfssatz: Wenn man
im linken Faktor A
des Matrixproduktes A·B die Zeilen a und b vertauscht, dann entspricht
das einer Vertauschung derselben Zeilen in der Ergebnismatrix (A·B):
An,m · B = (A·B)n,m
Zum Beweis betrachen wir das Bild einer Matrix-Multiplikation der
Matrix A (mit den Zeilenvektoren A1-A3) mit der Matrix B
(mit den Spaltenvektoren B1T, B2T, B3T). Die Definition
der Matrizen-
multiplikation schreibt uns vor, daß man z.B. die erste Zeile von
A1 mit
den Spalten von B skalar multipliziert werden muß, um die Elemente
der ersten Zeile in der Ergebnismatrix zu erhalten:
Wenn wir nun die Zeilen A1 und A3 vertauschen, vertauschen wir
auch die gleichen Zeilen in der Ergebnismatrix, was man sofort sieht:
Nun haben wir den Hilfssatz bewiesen:
An,m
· B = (A·B)n,m
Sei nun A eine Einheitsmatrix E dann wird aus (A·B)n,m = (E·B)n,m
= Bn,m
denn die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation:
En,m
· B = Bn,m
Damit ist der Satz bewiesen. |
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