Beweis des
Potenzgesetz 2a |
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Beweis des Potenzgesetz 2a |
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Wir wollen das Potenzgesetz 2a für ganzzahlige
Exponenten
beweisen, d.h. der Exponent r soll negativ sein:
Weil r laut Voraussetzung negativ ist, dürfen wir schreiben:
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir auf den Nenner die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der Potenz
bildet, wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
Wir multiplizieren die beiden Brüche:
Weil beide Potenzen den positive Exponenten r haben (Beträge
sind ja immer positiv) dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für
natürliche Exponenten anwenden, und erhalten:
Nun wenden wir auf den Nenner die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten: Bildet man den Kehrwert einer Potenz,
so wechselt das Vorzeichen des Exponenten:
Nun benutzen wir nochmal die Formel r=-|r| von ganz
oben:
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