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Potenzen II                                                                               ZURÜCK

Beweis des
Potenzgesetz
3 / Fall 2
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis des Potenzgesetz 3 / Fall 2
Wir wollen das Potenzgesetz 3 für ganzzahlige Exponenten
beweisen. Wir betrachten den Fall 2, bei dem beide Exponenten
(r und s) negativ sein sind:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Weil r,s laut Voraussetzung negativ sind, dürfen wir schreiben:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:

p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Nun wenden wir zweimal die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten
an: Wenn man den Kehrwert der Potenz
bildet, wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Doppelbruch mit a|r| erweitern, Nenner wird dadurch zu 1:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Weil beide Potenzen den positive Exponenten r haben (Beträge
sind ja immer positiv) dürfen wir das (alte) 3.Potenzgesetz für
natürliche Exponenten anwenden, und erhalten:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)

Wir haben ganz oben bewiesen: r = -|r| . Daraus folgt: -r = |r|
Genauso folgt: -s = |s| , und wir erhalten:

p03s52p0.pcx (4822 Byte)