Beweis des
Potenzgesetz
3 / Fall 1 |
 |
Beweis des Potenzgesetz 3 / Fall 1 |
|
Wir wollen das Potenzgesetz 3 für ganzzahlige
Exponenten
beweisen. Wir betrachten den Fall 1, bei dem nur einer
der Exponenten negativ ist, und wählen dazu r<0:
Weil r laut Voraussetzung negativ sind, dürfen wir schreiben:
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der
Basis bildet, wechselt der Exponent das Vorzeichen:
Weil beide Exponenten positiv sind (Beträge sind ja immer positiv)
dürfen wir das (alte) Potenzgesetz 2b für natürliche Exponenten
anwenden, und erhalten:
Die Zähler wird zu 1 (siehe Kapitel 1). Nun zum Nenner:
Weil beide Exponenten positiv sind dürfen wir das (alte)
3.Potenzgesetz für natürliche Exponenten anwenden:
Wir haben ganz oben bewiesen: r = -|r| . Daraus
folgt: -r = |r| .
Wir ersetzen also |r| durch -r.
Dann wenden wir nochmal die Definition von Potenzen
mit
negativen Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der
Basis bildet, wechselt der Exponent das Vorzeichen:
 |
|