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Definition des Begriffs "Klasse"
a-absatz.pcx (280 Byte) Definition
Um zu klären woher der Name "Klassen(einteilung)" kommt, versuchen
wir zu ergründen, was die drei Beispiele für Klassen gemeinsam haben:

   In allen drei Beispielen wird eine Menge M  in Teilmengen zerlegt.
   (z.B. wird die Menge M der Schüler in Schulklassen eingeteilt).
   Eine Klasse ist also eine Teilmenge einer ganzen Menge M,
   jedoch mit besonderen Eigenschaften:

Œ Kein Element kommt  in zwei Teilmengen gleichzeitig vor.
    Man sagt: Die Teilmengen sind elementfremd oder disjunkt
    (z.B. geht kein Kind gleichzeitig in zwei Schulklassen).

 Keine Teilmenge ist leer. So gibt es z.B. keine Schulklasse ohne Schüler.

Ž Außerdem gehört jedes Element der Menge M zu einer der Teilmengen (Klassen),
     z.B. gibt es keinen Schüler einer Schule, der zu keiner Schulklasse gehört.
     Diesen Punkt kann man auch anders beschreiben:
     Weil jeder Schüler zu einer Klasse gehört, folgt daraus, dass die Vereinigung
     aller Klassen wieder die Menge M ergeben würde.

Nun können wir den Begriff der "Klasse" und "Klassenzerlegung" definieren:
Definition "Klasse" und Klassenzerlegung":
Unter einer Klassenzerlegung einer Menge M versteht man die
vollständige Zerlegung von M in nichtleere, elementfremde (disjunkte)
Teilmengen. Diese Teilmengen nennt man dann Klassen.

   

a-absatz.pcx (280 Byte) Anmerkung zur Definition
ŒVollständige Zerlegung:
Dies bedeutet, dass durch die Zerlegung jedem Element von M eine
Teilmenge (Klasse) zugewiesen wird. Kein Element von M liegt also
außerhalb der Teilmengen (Klassen).

Zerlegung in nichtleere Teilmengen:
Dies bedeutet, dass nach der Zerlegung keine Teilmenge (Klasse) leer ist.

ŽZerlegung in elementfremde Teilmengen:
Dies bedeutet, dass jedes Element von M in höchstens einer Teilmenge
(Klasse) liegt.
 

a-absatz.pcx (280 Byte) Alternative Definition
Nach Πliegt jedes Element von M nach der Zerlegung in mindestens
einer Klasse, und nach Ž liegt jedes Element von M nach der Zerlegung
in höchstens einer Klasse. Beide Aussagen kann man zusammenfassen:
Jedes Element von M liegt nach der Zerlegung in genau einer Klasse.
Damit ergibt sich eine alternative Definition:
Definition "Klasse" und Klassenzerlegung":
 Unter einer Klassenzerlegung einer Menge M versteht man die
Zerlegung in nichtleere Teilmengen, wobei jedes Element von
M nach der Zerlegung in genau einer Teilmenge liegt.