Definition einer Klasse mit Hilfe von
Äquivalenzrelationen
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Einführung |
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Im vorigen Kapitel haben wir
schon definiert, was man unter einer Klasse bzw.
einer Klasseneinteilung versteht. Jetzt bringen wir die
Äquivalenzrelationen mit
ins Spiel. Man kann den Begriff "Klasse" aber auch mit Hilfe von
Äquivalenzrelationen
definieren, und nennt die Klasse dann meist "Äquivalenzklasse".
Wahrscheinlich wirst du dich jetzt fragen, warum man den Begriff
"Klasse" zusätzlich
mit Hilfe von Äquivalenzrelationen definieren soll, obwohl wir ihm im
vorigen Kapitel
schon ohne eine Definition ohne Äquivalenzrelationen gegeben haben.
Anwort:
Wir werden später in einem zentralen, wichtigen Satz zeigen,
dass Äquivalenzrelationen
eine Klasseneinteilung bewirken, und umgekehrt jede
Klasseneinteilung durch eine
Äquivalenzrelation beschrieben werden kann.
Daher müssen wir den Begriff "Klasse" nochmal mit Hilfe von
Äquivalenzrelationen definieren.
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Einführung |
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Gegeben sei eine Menge M, eine
Äquivalenzrelation R in dieser Menge
und beliebiges Element der Menge M.
Dann nennt man alle Elemente von M, die über die
Relation R mit a verbunden sind, die Klasse [a].
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Lies: Die Klasse a besteht aus den Elementen x für die gilt: a steht
in Relation zu x |
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Beispiel |
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Zum Element a stehen die Element b und c in Relation R. Daher gehören
a, b und c zur Klasse [a]. Die Elemente d und e bilden eine weitere
(zweite)
Klasse, die man [d] oder [e] nennen kann.
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