Rechnerischer
Nachweis der
"Achsensymmetrie zu einer beliebigen Parallelen der y-Achse"
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 | Gegeben und Gesucht |
| Gegeben sei die Funktion der vorigen
Seite: f(x) = (x–1)2+3
Die Vermutung, dass die Funktion achsensymmetrisch zur
Achse x0=1 ist, soll nun rechnerisch bewiesen
werden.
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| Benötigte Formeln |
| Wir benutzen das
"Kriterium für Achsensymmetrie zu einer beliebigen Parallelen der y-Achse",
das
wir auf der vorigen Seite kennengelernt haben:
f(x) = f(2·x0–x)
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| Lösung |
| Wir schreiben das Kriterium
auf:
f(x) = f(2·x0–x)
Wir ersetzen x0
durch den gegebenen Werte, d.h. durch x0=1 :
f(x) = f(2·1–x)
Vereinfachen:
f(x) = f(2–x)
Auch
den Ausdruck f(x) können wir ersetzen, denn f(x) ist ja gegeben:
(x–1)2+3= f(2–x)
Jetzt wir es etwas komplizierter: Wir müssen auf der rechten
Seite f(2–x) berechnen. Dies bedeutet, wir müssen die
Funktion f(x) an der Stelle "2–x" berechnen.
Praktisch bedeutet dies, dass wir die gegebene Funktion f(x)
hinschreiben, aber "x" durch "2–x" ersetzen:
(x–1)2+3= (2–x–1)2+3
Um die Gleichheit der beiden Seiten zu zeigen, folgen nun
einige elementare
Rechenoperationen auf der rechten
Seite der Gleichung. Klammer vereinfachen:
(x–1)2+3= (1–x)2+3
Auf der rechten Seite wird aus der Klammer (1–x) der Faktor –1
ausgeklammert:
(x–1)2+3= [– (x–1)]2
+3
Rechte Seite vereinfachen: Das Minuszeichen fällt weg:
(x–1)2+3= (x–1)2
+3
Da beide Seiten gleich sind, haben wir bewiesen, dass die Funktion f(x) = (x–1)2+3
tatsächlich zur Achse x0=1 symmetrisch ist.
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