Kriterium für die
Punktsymmetrie
zu einem bestimmten Punkt |
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Erklärung |
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Nun wollen wir eine Formel mit Hilfe des Bildes herleiten, welche die
Punktsymmetrie zu einem bestimmten Punkt beschreibt.
Mit Hilfe der Formel können wir dann überprüfen, ob eine Funktion
punktsymmetrisch zu einem gegebenen Punkt ist.
Die beiden blauen Punkte Q und R liegen punktsymmetrisch zu P.
Daraus folgt: Die x-Koordinaten von Q und P unterscheiden sich um x-x0.
Wegen der Punktsymmetrie unterscheiden sich die x-Koordinaten von P und R
ebenfalls um x–x0. Wir können als x' durch x0–(x–x0) ersetzen, bzw. durch
den gleichwertigen Ausdruck 2x0–x, der sich durch Auflösen der Klammer ergibt:
Wenden wir uns nun den y-Koordinaten der Punkte R und Q zu.
Die y-Koordinaten der drei Punkte sind in grün eingezeichnet.
Die Differenz der y-Koordinaten von Q und P ist f(x)–y0.
Wegen der Punktsymmetrie unterscheiden sich die y-Koordinaten
von P und R ebenfalls um
f(x)–y0:
Nun können wir die gewünschte Formel aufstellen, indem wir die
y–Koordinate des Punktes P, d.h. y0, auf zwei Arten ausdrücken:
y0 = f(2x0–x)
+ [ f(x) – y0 ]
y0 = f(x) – [ f(x) –
y0 ]
Jetzt müssen wir nur noch die rechten Seiten gleichsetzen, und die Klammern auflösen:
f(2x0–x) + f(x) –
y0 = f(x) – f(x) +
y0
Auf der rechten Seite hebt sich f(x) auf:
f(2x0–x) + f(x) –
y0 = y0
Wir bringen zwei Summanden auf die rechte Seite:
Dies ist das gewünschte Kriterium, welches die Punktsymmetrie zu x0/y0
in formelhafter Weise beschreibt.
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