Symmetrie III ZURÜCK
Beweis zum Satz:
Punktymmetrie
zum Ursprung bei
ganzrationalen
Funktionen

a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
Die allgemeine Definition einer ungerade Funktion lautete:

   f(-x) = -f(x)

Nehmen wir an, die Funktion f(x) sei eine ganzrationale Funktion,
die nur ungerade Exponenten hat::

   f(x) = a·x1 + b·x3 + c·x5 + ...

Nun bestimmen wir f(–x), und versuchen es in –f(x) umzuformen:

   f(-x) = a·(-x)1 + b·(-x)3 + c·(-x)5 + ...

Aus jedem Summanden kann man den Faktor (–1) ausklammern.
Exemplarisch zeigen wir das am Summanden b·(-x)3 :

       b·(-x)3 = b·(–1·x)3 = b·(–1)3·x3 = b·(–1)·x3

Wir erhalten:

   f(-x) =   a·(–1)·x1   + b·(–1)·x3 +c·(–1)·x5 +  ...

Den Faktor (–1) klammern wir nun aus:

   f(-x) = (–1) · (a·x1 + b·x3 + c·x5 + ...)

Die Klammer entspricht aber f(x):

   f(-x) =  –f(x)


Dies ist aber die Definition der "Punktsymmetrie zum Ursprung, und
somit ist der Beweis erbracht.
  

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