Symmetrie III ZURCK
Beweis zum Satz:
Punktymmetrie
zum Ursprung bei
ganzrationalen
Funktionen

a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
Die allgemeine Definition einer ungerade Funktion lautete:

   f(-x) = -f(x)

Nehmen wir an, die Funktion f(x) sei eine ganzrationale Funktion,
die nur ungerade Exponenten hat::

   f(x) = ax1 + bx3 + cx5 + ...

Nun bestimmen wir f(–x), und versuchen es in –f(x) umzuformen:

   f(-x) = a(-x)1 + b(-x)3 + c(-x)5 + ...

Aus jedem Summanden kann man den Faktor (–1) ausklammern.
Exemplarisch zeigen wir das am Summanden b(-x)3 :

       b(-x)3 = b(–1x)3 = b(–1)3x3 = b(–1)x3

Wir erhalten:

   f(-x) =   a(–1)x1   + b(–1)x3 +c(–1)x5 +  ...

Den Faktor (–1) klammern wir nun aus:

   f(-x) = (–1) (ax1 + bx3 + cx5 + ...)

Die Klammer entspricht aber f(x):

   f(-x) =  –f(x)


Dies ist aber die Definition der "Punktsymmetrie zum Ursprung, und
somit ist der Beweis erbracht.
  

www.mathematik.net