Quotient aus gerader oder ungerader Funktion
und einer unsymmetrischen Funktion
Satz
Bildet
man den Quotienten aus einer geraden/ungeraden Funktion
und einer unsymmetrischen
Funktion, dann entsteht eine Funktion, die weder gerade noch ungerade ist.
Dies gilt auch, wenn die unsymmetrische Funktion im Zähler steht.
Ausnahme:
Die gerade/ungerade Funktion lautet a(x)=0 und steht im Zähler des Quotienten
Beispiel
Die
Funktion f(x) =
cos(x) / ex besteht aus einem geraden Zähler cos(x) und dem unsymmetrischen Nenner ex. Der Quotient f(x) ist unsymmetrisch.
Beweis
Wir
benutzen das Beweisverfahren "Beweis durch Widerspruch".
Fall 1: g1(x) / n(x) = g2(x) Fall 2: u1(x) / n(x) = u2(x) Fall 3: g(x) / n(x) = u(x) Fall 4: u(x) / n(x) = g(x) Fall 5: n(x) / g1(x) = g2(x) Fall 6: n(x) / u1(x) = u2(x) Fall 7: n(x) / g(x) = u(x) Fall 8: n(x) / u(x) = g(x)
Exemplarisch beweisen wir den Fall 1:
Wir beweisen, dass der Quotient aus einer geraden Funktion g1(x) und einer unsymmetrischen Funktion n(x) keine gerade Funktion g2(x) ergeben kann:
g1(x) / n(x) = g2(x)
Wir multiplizieren die Gleichung mit n(x):
g1(x) = g2(x) · n(x)
Wir teilen die Gleichung durch g2(x):
n(x)= g1(x) / g2(x)
Dies ist ein Widerspruch: n(x) ist laut Voraussetzung unsymmetrisch, doch auf der rechten Seite steht eine gerade Funktion, denn der Quotient zweier gerader Funktionen ist wieder eine gerade Funktion.
