Symmetrie II ZURÜCK
Differenz zweier 
gerader Funktionen


a-absatz.pcx (280 Byte) Satz
Die Differenz zweier gerader Funktionen ergibt
eine gerade Funktion, d.h. eine Funktion, die achsensymmetrisch zur Funktionswertachse (y-Achse) ist.

Beispielsweise besteht die folgende Differenz f(x) aus zwei geraden Teilfunktionen,
denn sowohl g1(x)=cos(x) als auch g2(x)=x2 sind gerade Funktionen: 

       f(x) = cos(x) – x2

Laut dem Satz ist somit auch f(x) gerade.
 
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
Gegeben sei also eine Funktion f(x), die aus der Differenz zweier gerader Teilfunktionen
besteht, die wir g1(x) und g2(x) nennen:

       f(x) = g1(x) – g2(x)

Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:

       f(
x) = g1(–x) – g2(–x)

g1(x) und g2(x) sind laut Voraussetzung gerade Funktionen.
Daher gilt:
g1(–x)= g1(x)  und g2(–x)= g2(x). Wir erhalten:

       f(x) = g1(x) – g2(x)

Wir vergleichen die rechte Seite dieser Gleichung mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:

       f(x) =  f(x)

Dies ist aber die Formel für Achsensymmetrie zur y-Achse,
d.h. die Funktion f(x) ist gerade Funktion.

  

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