Die Arten einer Umformung
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1.Äquivalenzumformungen |
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Eine Äquivalenzumformung ist, wie wir wissen, eine Umformung, bei
der sich
die Lösungsmenge nicht ändert. Bestimmte Rechenoperationen (wie z.B. mit
ungerader Zahl potenzieren) bilden sowohl bei Gleichungen als auch bei
Ungleichungen eine Äquivalenzumformung. Beispiel:
Die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung besteht aus allen
Zahlen x,
die größer als 2 sind:
Jetzt potenzieren wir die Ungleichung mit 3. Die Lösungsmenge
bleibt gleich:
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Gewinnumformungen
(Folgeumformung, Implikation) |
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Eine Gewinnumformung ist eine Umformung, bei der Lösungen
hinzukommen
können. Man nennt diese falschen Lösungen Scheinlösungen.
Bei Gleichungen hatten wir zwei Arten von Gewinnumformungen
unterschieden:
1. Erweiterung des Definitionsbereich
2. Anwenden einer nicht-bijektiven Funktion (z.B. Quadrieren)
Bei Ungleichungen entfällt Punkt 2, denn (sofern es sich nicht um
eine Äquvalenzumformung
handelt) kann das Anwenden einer Funktion sowohl zum Gewinn als auch zum
Verlust
von Lösungen führen. Beispielsweise können beim Quadrieren einer
Ungleichung Lösungen
hinzukommen aber auch verlorengehen (Beispiele folgen im Kapitel 3). |
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Verlustumformungen |
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Bei einer Verlustumformung gehen Lösungen verloren, und somit sind
sie verboten.
Bei Gleichungen hatten wir zwei Arten von Verlustumformungen
unterschieden:
1. Erschränken des Definitionsbereich
2. Falsches Anwenden von Rechengesetzen (nichtbeachten des
Definitionsbereichs)
Bei Ungleichungen kommt noch eine neue Art von Verlustumformung
zu, die bei den
Gleichungen noch zu den Gewinnumformungen gehörte:
3. Das Anwenden einer nicht streng monoton verlaufenden Funktion
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Umformung die auf undefnierte
Ausdrücke führt |
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Wie bei den Gleichungen kann auch bei Ungleichungen eine Umformung
zu
einem undefinierten Ausdruck führen. Beispiel:
Wir ziehen die 3. Wurzel:
Wir werden später zeigen, wie man dieses Problem umgeht, und die
Gleichung
doch noch lösen kann. |
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