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Motivation |
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Wir lernten bereits: Bei Gleichungen ist das Anwenden einer
injektiven Funktion
eine Äquivalenzumformung.
Im Falle einer Ungleichung ist nur das Anwenden einer streng
monotonen Funktion
eine Äquivalenzumformung, und außerdem muss man beim Anwenden einer
streng
monoton fallenden Funktion das Ungleichheitszeichen umdrehen.
Wir halten dies in einem Satz fest. |
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Satz |
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Wenn man beide Seiten einer Umgleichung zum Argument einer
streng monoton
steigenden Funktion macht, dann ist dies eine
Äquivalenzumformung.
Wenn man beide Seiten einer Umgleichung zum Argument einer
streng monoton
fallenden Funktion macht, dann ist dies eine
Äquivalenzumformung,
wenn man das Ungleichheitszeichen umdreht. |
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Beispiel 1: Streng monoton
steigende Funktion |
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Gegeben ist die Ungleichung:
Wir machen beide Seiten zum Argument der Kubikfunktion (=Potenzfunktion
mit dem
Exponenten 3). Weil die Kubikfunktion streng monoton steigend ist,
handelt es sich um
eine Äquivalenzumformung:
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Beispiel 2: Streng monoton
fallende Funktion |
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Gegeben ist die Ungleichung:
Wir machen beide Seiten zum Argument der Exponentialfunktion mit der
Basis 1/2.
Weil diese Gunktion streng monoton fallend ist, handelt es sich um eine
Äquivalenzumformung,
jedoch müssen wir gleichzeitig das Ungleichheitszeichen umdrehen:
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