Ungleichungen zurück
Anwenden einer
nicht streng monotonen
Funktion
a-absatz.pcx (280 Byte) Satz
Eine Funktion, die nicht streng monoton ist, darf man nicht anwenden
(z.B. Quadratfunktion), denn dies wäre keine Äquivalenzumformung.
Ist man gezwungen eine solche Funktion anzuwenden,
dann helfen oft "Tricks" weiter.
  
a-absatz.pcx (280 Byte) Erklärung
Wir haben am Anfang des Kapitels gelernt, dass das Anwenden einer streng monotonen
Funktion eine Äquivalenzumformung für Ungleichungen darstellt (wobei man bei
streng monoton fallenden Funktionen das Ungleichheitszeichen umdrehen muss).

Was ist nun aber mit Funktionen, die nicht streng monoton sind?
Das beste Beispiel dafür ist die Quadratfunktion bzw. das Quadrieren:

   Im Falle einer Gleichung, so hatten wir gelernt, ist das Anwenden der Quadratfunktion
   eine Folgeumformung, bei der zwar Lösungen hinzukommen können, aber man
   kann diese durch die "Probe" erkennen.

   Im Falle einer Ungleichung ist das Anwendung einer nicht streng monotonen Funktion
   total verboten, da nicht nur Lösungen hinzukommen können, sondern auch
   Lösungen verloren gehen können (Beispiele siehe unten)!

Weil man aber beim Lösen von Wurzelgleichungen gezwungen ist, die Quadratfunktion
(allgemeiner: Potenzfunktionen mit geradem Exponent) anzuwenden, zeigen wir auf
der nächsten Seite einen "Trick", mit dem man eine nicht streng montone Funktion
(wie die Quadratfunktion) meist doch noch anwenden kann.
   
  
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel: Lösungen gehen verloren
Gegeben ist die Wurzel-Ungleichung:

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu beseitigen:

Wir vereinfachen die linke Seite, indem wir ein Wurzelgesetz anwenden:

Wir sehen: Während die erste Ungleichung alle nicht-negativen Zahlen als Lösung hat,
hat die letzte Gleichung nur noch die Zahlen als Lösung, die größer als 9 sind.
Es sind also Lösungen verloren gegangen, nämlich alle Zahlen zwischen 0 und 9.
     
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel: Lösungen kommen hinzu
Gegeben ist die Wurzel-Ungleichung:

Wir quadrieren beide Seiten der Ungleichung:

Wir vereinfachen die linke Seite, indem wir ein Wurzelgesetz anwenden:

Wir sehen: Die erste Ungleichung hat kein Lösung, denn ein Wurzel kann nicht kleiner
als eine negative Zahl werden, denn Wurzeln sind stets nicht-negativ. Die letzte Ungleichung
hat aber Lösungen. Es sind also Lösungen hinzugekommen.