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Vektorräume V                                          ZURÜCK

Gegeben sei der geometrische
Vektorraum der Ebene und eine
Basis B₁ = {v₁, v₂} desselben
Vektorraumes.
Außerdem sei noch ein Vektor w des Vektorraumes V gegeben,
der nicht zur Basis gehört



Nun entfernen wir v₁ aus der
Basis und fügen w zur Basis
dazu. Es entsteht die neue
Basis  B₂ = {v₂, w} der
Ebene.





Nun zum Gegenbeispiel:
Entfernen wir v₂ aus der Basis
und fügen w hinzu, so erhalten
wir die Menge {v₁, w}.
Dies ist nun aber keine (!)
Basis der Ebene mehr, denn
die beiden Vektoren sind
kollinear. 

Formel
       Aufgrund dieses Beispiels stellt sich die Frage, welche Vektoren
       einer Basis geeignet sind, um gegen einen beliebigen Vektor w
       ausgetauscht zu werden. Es sind dies die Vektoren, die in der
       Linearkombination:

               w = k₁·v₁ +  k₂·v₂ +  ...  +  k_n·v_n
 
      einen Koeffizienten k_i haben, der von Null verschieden ist.

     Überprüfen wir dies an unserem Beispiel: w = 0.25·v₁ +  0·v₂
     Also dürfen wir v₁ durch w ersetzen, aber nicht v₂ .