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Vektorräume V                                             ZURÜCK

Steinitz'scher
Austauschsatz
a-absatz.pcx (280 Byte)Steinitz'scher Austauschsatz
Gegeben seien:

   1. Ein Vektorraum V
   2. Eine Basis B dieses Vektorraumes: B = {b1 ... bn}
   3. Eine linear unabhängige Menge A aus Vektoren
       dieses Vektorraumes: A = {a1 ... am}

Daraus folgt:

   1. na-gr-gl.pcx (207 Byte)m

   2. Fügt man zur Basis B = {b1 ... bn} die linear unabhängige
       Menge A = {a1 ... am} hinzu, und entfernt im Gegenzug
       m Vektoren aus der Basis b, so erhält man eine
       neue Basis B':

            B'  =  {b1 ... bn} m-verein.pcx (200 Byte) {a1 ... am} - {m Vektoren aus B}

              oder

            B'  =  {n-m Vektoren aus B} m-verein.pcx (200 Byte) {a1 ... am}



a-absatz.pcx (280 Byte)Anmerkungen zum Satz

       a-kreis1.pcx (176 Byte) Der Steinitz'sche Austauschsatz sagt nur, daß es
           m geeignete Vektoren in B gibt, die man gegen
{a1 ... am}
           austauschen kann.  Der Steinitz'sche Austauschsatz
           sagt aber nicht, welche Vektoren geeignet sind.

       a-kreis1.pcx (176 Byte) Der Ausdruck B' = {n-m Vektoren aus B} m-verein.pcx (200 Byte) {a1 ... am}
           wird in der Regel einfacher geschrieben. Dazu nummeriert

           man die übriggebliebenen n-m Vektoren der Basis B um,
           und
gibt ihnen die Indizes  bm+1 ... bn :

                         B'  =  {a1 ... am, bm+1 ... bn}