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Vektorräume V                                             ZURÜCK

Satz
     

Alle Basen eines bestimmten Vektorraumes haben gleich viele Elemente

Beweis
       Der Beweis erfolgt mit Hilfe des Steinitz'schen Austauschsatzes.
      
       Die Basen B und C seien Basen desselben Vektorraumes.
       Weil jede Basis auch laut ihrer Definition eine linear unabhängige
       Menge ist, kann z.B. die Basis B die Rolle der linear unabhängigen
       Menge im Steinitz'schen Austauschsatz übernehmen:

                      |B| |C|

       Andererseits kann man die Basis C die Rolle der linear
       unabhängigen Menge im Steinitz'schen Austauschsatz
       übernehmen lassen:

                      |C| |B|

       Faßt man beiden Aussagen zusammen, so bedeutet dies:

                      |B| = |C|

       was zu beweisen war.

Dimension
       Im Satz oben haben wir gesagt, daß alle Basen eines
       bestimmten Vektorraumes gleich viele Vektoren haben.
       Man nennt diese Anzahl der Basisvektoren die
       Dimension dieses Vektorraumes. Die Dimension
       eines Vektorraumes ist seine wichtigste Kenngröße.