Version: Test ©Raddy 2000	Inhalt zu: Vektorräume VI ZURÜCK
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Nebenklassen: Einführung an einem Beispiel	Sei U ein Unterraum des Vektorraumes V. Addiert man zu jedem Element des Unterraumes u einen Vektor vV hinzu, so erhält man die Nebenklasse v+U = {v+u₁, v+u₂, v+u₃, ...}
Gleichheit von Nebenklassen	Sind zwei Nebenklassen v+U und w+U gleich, dann liegt die Differenz der Repräsentanten (v-w) in U. Umgekehrt gilt. Liegt die Differenz zweier Repräsentanten in U, dann sind sie Repräsentanten derselben Nebenklasse.
Beweis Teil 1	Beweis: Wenn zwei Nebenklassen gleich sind, liegt v-w in U.
Beweis Teil 2	Beweis: Liegt v-w in U, sind die Nebenklassen gleich.
Repräsentanten und Elemente einer Nebenklasse	Jedes Element der Nebenklasse v+U ist auch Repräsentant, und umgekehrt ist jeder Repräsentant von v+U auch Element von v+U.
Faktormengen	Die Faktormenge V/U ist die Menge aller Nebenklassen von U, also die Menge V/U = {v+U, w+U, x+U, y+U...}
Wie wird aus einer Menge ein Vektorraum	Man definiert eine Verknüpfung auf der Menge M, wählt einen Körper K und definiert eine Verknüpfung zwischen den Elementen der Menge und den Elementen des Körpers. Beide Verknüpfungen müssen die Vektorraumaxiome erfüllen ...
Faktorräume	Wie wird aus einer Faktormenge ein Vektorraum (Faktorraum genannt), in dem die Nebenklassen zu Vektoren werden: Man definiert auf der Faktormenge V/U eine Verknüpfung Man wählt einen Körper K Man definiert eine Verknüpfung zwischen den Elementen von V/U (also den Nebenklassen) und den Elementen des Körpers zu : Man definiert: (v+U) + (w+U) = (v+w)+U zu Man definiert: k·(v+U) = (k·v) +U
Nachweis der Axiome	Natürlich müssen die beiden Verknüpfungen so definiert sein, daß sie die uns bekannten Vektorraumaxiome erfüllen.
Nachweis der Wohldefiniertheit der Addition	Die oben genannte Verknüpfung (v+U) + (w+U) = (v+w)+U muß unabhängig von der Wahl der Repräsentanten v und w sein. Dies muß man beweisen ...
Nachweis der Wohldefiniertheit der Multiplikatin	Die oben genannte Verknüpfung k·(v+U) = (k·v) +U muß unabhängig von der Wahl des Repräsentanten v sein. Dies muß man beweisen ...