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Vektorräume VI ZURÜCK

Wohldefiniertheit
der Addition
von Nebenklassen

Die Problemstellung
       Schauen wir uns nochmals an, wie wir die Addition von
       Nebenklassen definiert haben:

                 (v+U) + (w+U) = (v+w) + U

       Was aber wäre, wenn wir zwar die gleichen Nebenklassen
       addiert hätten, aber die Nebenklassen durch andere
       Repräsentanten dargestellt hätten. Dann müßten wir rechnen:

                 (v'+U) + (w'+U) = (v'+w') + U

       Das Ergebnis muß aber in beiden Fällen gleich sein, denn sonst
       wäre die Addition von Nebenklassen ja nicht eindeutig!
       Wir müssen also beweisen, daß gilt:

                 (v+w) + U = (v'+w') + U

Der Beweis zum Axiom
       Der Beweis beginnt folgendermaßen: Wenn die beiden
       Nebenklassen gleich wären, dann müßte aufgrund des
       "Satz über die Gleichheit von Nebenklassen" die
       Differenz der beiden Repräsentanten (v+w) und (v'+w')
       ein Element von U sein:

               (v+w)-(v'+w')

U

         Diese Formel stellen wir etwas um:

                (v-v')+(w-w')

U

         Da v und v' Repräsentanten derselben Nebenklasse sind, liegt
         aufgrund des "Satzes über die Gleichheit von Nebenklassen"
         ihre Differenz in U. Wir nennen diesen Vektor u₁. Für die
         Vektoren w und w' gilt das gleiche. Ihre Differenz (w-w')
         nennen wir u₂. Wir erhalten die Formel:

                u₁+ u₂

U

         Das diese Formel richtig ist, können wir ganz einfach
         beweisen. Weil u₁und u₂ aus aus dem Unterraum U stammen,
         und in einem Unterraum die Addition abgeschlossen ist,
         ist auch die Summe u₁+ u₂ ein Element aus U.

         Unsere Annahme über die Gleichheit der Nebenklassen
         v+w + U und v'+w' + U war also richtig, und somit ist die
         Verknüpfung unabhängig von den gewählten Repräsentanten.
         Diese Eigenschaft aber bezeichneten wir als "Wohldefiniertheit".