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Vektorräume VI ZURÜCK

1.Teil Beweis:
Gleichheit von
Nebenklassen

Vorbemerkung zum Beweis
       Der Beweis des Satzes "Gleichheit von Nebenklassen" gliedert sich
       in zwei Teile (auf je einer Seite). Wir müssen nämlich einerseits
       beweisen:

            Aus v+U=w+U folgt v-w

U

        Dann müssen wir die Umkehrung beweisen:

           Aus v-w

U folgt v+U=w+U

1.Teil des Beweises
       Wir wollen also überprüfen, wann zwei Nebenklassen gleich sind:

              v+U = w+U

        Wenn die beiden Nebenklassen gleich sind, dann sind sie
        natürlich auch auch in einem bestimmten Element gleich:

              v+u₁ = w+u₂

         Diese Gleichung stellen wir erst mal um:

              v - w = u₂ - u₁

         Weil U ein Unterraum ist, ist die Differenz u₂-u₁ abgeschlossen,
         d.h. sie ist auch ein Element von U, welches wir u₀ nennen:

              v - w = u₀

       Wir haben also bewiesen: Wenn v+U = w+U dann ist v-w