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Vektorräume VI                                         ZURÜCK

       Nun müssen wir noch "in die andere Richtung" beweisen, d.h. wir
       wollen beweisen: Wenn v-wU, dann gilt: v+U = w+U

         Laut Voraussetzung ist v-wU, d.h. es gibt ein u₀ mit v-w=u₀
           Indem wir die diese Formel umstellen, können wir die
           Voraussetzung auch anders schreiben: v = u₀+w

       Nun zum Beweis: Die Nebenklasse v+U kann man
           auch folgendermaßen schreiben:

	v+u	mit: uU
	Den Vektor v dürfen wir nach Voraussetzung   durch u0+w ersetzen:
	u0+w+u	mit: uU
	Die Menge u0+w+u mit: uU ist Teilmenge von w+U,   denn jeder Vektor u0+u ist wegen der "Abgeschlossenheit"   des Unteraumes U ein Vektor aus U:
	w+u0+u	w+U	mit: uU
	Den Vektor w+u0 dürfen wir nach Voraussetzung   wieder durch v ersetzen:
	v+u	w+U	mit: uU
	Das kann man nun wiederum so schreiben:
	v+U	w+U

       Wir haben soeben bewiesen: Aus v-wU folgt   v+U w+U .
            Genauso könnte man beweisen: Aus w-vU folgt w+U v+U
            Wenn aber gilt v+U w+U  und  w+U v+U , dann gilt
            v+U=w+U, was wir auf dieser Seite beweisen wollten.