Potenzungleichungen zurück
x² > a
(a nicht-negativ)
a-absatz.pcx (280 Byte) Lösungsweg
Gegeben ist die Potenzungleichung mit geradem Exponent:

Beide Seiten der Ungleichung sind nicht-negativ, d.h. positiv oder Null (die linke
Seite der Ungleichung ist nicht-negativ, weil Quadrate immer nicht-negativ sind).

Nun wollen wir auf beiden Seiten der Ungleichung die Wurzel ziehen.
Dies ist eine Äquivalenzumformung, weil beide Bedingungen für eine Äquivalenz-
umformung vorliegen:

      1. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend
      2. Der Definitionsbereich wird nicht eingeschränkt, denn beide Seiten
          der Ungleichung sind positiv (gerade Potenzen sind stets positiv)

Wir erhalten:


Ein häufiger Fehler ist nun, dass wir die linke Seite der Ungleichung zu x vereinfachen.
Doch es gilt: Auf der linken Seite der Ungleichung heben sich Potenzieren und
Radizieren nicht auf, denn die Wurzelfunktion ist nicht die Umkehrfunktion
der Quadratfunktion (die Quadratfunktion hat nämlich überhaupt keine Umkehrfunktion).

Wir können aber, um die linke Seite der Ungleichung zu vereinfachen,
das folgende Wurzelgesetz anwenden:. Wir erhalten:

Wir lösen diese einfache Betragsungleichung und erhalten die Lösung: